I numeri complessi sono uno degli argomenti più affascinanti della matematica. A prima vista sembrano un artificio astratto, un costrutto matematico utile solo a risolvere un’equazione che altrimenti non avrebbe soluzione alcuna. Eppure, i numeri complessi permeano la nostra realtà e sono utilissimi, indispensabili quasi, per spiegare fenomeni assai tangibili, come ad esempio la corrente alternata. 

Il legame tra numeri complessi e spirale logaritmica è un esempio affascinante di come argomenti apparentemente diversi, come trigonometria, esponenziali, vettori e serie, possano ritrovarsi nello stesso luogo. Per questo motivo sono stati scelti come primo esempio di Unità di Apprendimento.

Dai numeri complessi alla spirale logaritmica

La domanda da cui siamo partiti è semplice da formulare: perché le potenze $z, z², z³$… di un numero complesso si dispongono lungo una spirale? E quale spirale? Per rispondere abbiamo costruito un percorso in cui la formula di Eulero, la forma esponenziale e la formula di De Moivre conducono alla dimostrazione di un teorema: i punti zⁿ giacciono su una spirale logaritmica.

Jupyter Notebook: quando matematica e Python si incontrano

Per la realizzazione fattiva di questo progetto didattico abbiamo utilizzato uno strumento ancora poco diffuso nella scuola: i Jupyter Notebook.
Un Jupyter Notebook è un ambiente interattivo che permette di lavorare nello stesso documento con codice, testo, formule, tabelle e grafici.
Il notebook è organizzato in celle: alcune contengono testo formattato in Markdown, altre contengono codice eseguibile, molto spesso Python. La caratteristica fondamentale è che il codice può essere eseguito una cella alla volta, vedendo immediatamente il risultato sotto la cella stessa.
In ambito scolastico, il vantaggio più interessante è probabilmente questo: il notebook trasforma il codice da semplice programma da eseguire a percorso di lavoro, nel quale lo studente può leggere una spiegazione, eseguire un esempio, modificarlo, osservare il risultato e rispondere a domande senza cambiare ambiente.

Grazie alle potenzialità di questi notebook abbiamo unito matematica e informatica in un percorso che può essere adattato facilmente a qualsiasi esigenza.
Il notebook che presentiamo è pensato per una classe quarta di un istituto tecnico tecnologico a indirizzo informatico, ma si può adattare a qualsiasi percorso, compresi quelli liceali. Richiede 6–8 ore, di cui 4 di matematica e 2–4 di laboratorio. Servono trigonometria, esponenziali e logaritmi e una nozione intuitiva di serie, oltre a un Python di base (variabili, funzioni, cicli).

L’esplorazione dei numeri complessi si sviluppa in due direzioni. Da un lato la connessione tra le potenze di un numero complesso e la spirale logaritmica, curva che la natura approssima in molteplici contesti (dal nautilus ai bracci delle galassie). Dall’altro il codice Python che consente di rappresentare graficamente il piano di Gauss attraverso la versatile libreria matplotlib e visualizzare concetti anche astratti attraverso poche righe di codice.

Lo scopo di questa Unità di Apprendimento è l’acquisizione dei concetti fondamentali dei numeri complessi partendo dalla curiosità per l’informatica. Il notebook sviluppa approfonditamente l’argomento, con alcuni excursus adatti anche a una classe più avanzata, e propone esercizi e sfide sia di matematica sia di informatica. Attraverso gli script in Python, l’interpretazione geometrica delle varie operazioni complesse diventa visibile e manipolabile: la somma come regola del parallelogramma, il prodotto come rotazione e omotetia, fino a una spirale che prende forma sotto gli occhi degli studenti mentre cambiano modulo e argomento. Il teorema non resta un enunciato: ogni passaggio della dimostrazione viene tradotto in una verifica numerica.

Quando il codice sembra smentire la matematica

C’è poi un aspetto che ci sta particolarmente a cuore. Nel notebook abbiamo lasciato una trappola: se per leggere la spirale si usa l’argomento principale di $zⁿ$(quello restituito da np.angle) invece dell’angolo “srotolato” $nφ$, il rapporto tra $ln|zⁿ|$ e l’angolo non è più costante e la verifica numerica sembra smentire un teorema vero.

Un grafico che torna non è una dimostrazione, e un grafico che non torna non è una confutazione. Serve la matematica per capire che cosa il codice sta davvero calcolando, e serve il codice per accorgersi di che cosa la matematica dava per scontato. In un’epoca in cui uno studente può ottenere in pochi secondi un programma funzionante da un chatbot, la domanda diventa un’altra: sa dire perché funziona?

Forse è proprio qui che matematica e informatica smettono di essere due materie e diventano un unico modo di non fidarsi alla cieca di ciò che vediamo sullo schermo.

Il notebook è scaricabile qui